Сергей Холодилов (fat_crocodile) wrote,
Сергей Холодилов
fat_crocodile

Category:

Периодические дроби

Это которые 0.33333...333.. -- и так всё время 3. Записывается обычно как 0.(3)

Мне про них рассказывали когда-то очень давно, классе в третьем-втором, и, по понятным причинам, рассказали не всё. А между тем, там есть один неожиданный момент.

То, что любая дробь вида q/p представляется в виде периодической, понять довольно просто. Надо делить в столбик и смотреть, что получается. Остается остаток от деления q на p,

[если хочется, в этом месте можно подумать самостоятельно]q = целая_часть * p + r1

Продолжаем деление, следующий шаг это

10*r1 = цифра * p + r2

Здесь можно считать, что "10" это "основание системы счисления", утверждение верно для двоичной, десятичной и т.п., лишь бы целым было.

Потом

10*r2 = цифра * p + r3
10*r3 = цифра * p + r4
10*r4 = цифра * p + r5

и так далее. ri это остатки от деления на p, их бывает всего p штук разных: 0, 1, 2, .. p-1. Если где-нибудь встретится 0, процесс на этом заканчивается, поделили. Значит, если у нас периодическая дробь, остатков всего p-1. Значит, не позднее чем через p-1 шагов они начнут повторяться. Поскольку значение остатка полностью определяет следующий остаток, повторяться будет целый цикл. Вот и периодическая дробь.


Но есть ещё и обратное утверждение: любая периодическая дробь это рациональное число. Интересно, какое. Вот например 0.(714285) это что за дробь? Понять это можно так:

0.(1) это 1/9 -- ну это все знают
0.(01) это 1/99 -- это несложно проверить
0.(0...01) это 1/9...99 -- а это несложно доказать

[доказательство]Ну правда, деля 1 на 9...99 мы будем получать 0 умножать остаток на 10, пока он не станет больше делителя. Тогда мы наконец сможем вычесть делитель, получим 1, остаток 1, и всё с начала.

Можно предположить, чему будет равна 0.(0...02) -- правильно, это будет 2/9...99. Эти дроби прекрасно можно складывать и умножать на целые, ну и в общем 0.(714285) это конечно 714285/999999. Ответ понятный, хотя и немного разочаровывающий.

Если период начинается не сразу, надо поделить на 10. Например 0.0(01) = 0.(01) / 10 = 1/990. Т.е. количество девяток задает длину повторяющейся части, не повторяющийся префикс нужно учитывать отдельно. Если в этом префиксе не 0, например 0.2(01) это будет 2/10 + 1/990 = 2*99/990 + 1/990 = 199/990. В общем, дроби-с-префиксом тоже представляются в таком виде.

Но чуть выше мы доказали, что как периодическую можно представить любую дробь, не обязательно только с девятками в знаменателе. Вместе эти два утверждения означают, что любую дробь вида q/p можно представить в виде x/99..990..00. Это значит, что для любого натурального p найдется нужное количество девяток и нулей, такое, что 99..990..0 делится на p нацело.

Дальше я пошел по сложному пути, см. в комментах более простое объяснение этого факта от avsmal, спасибо ему.

Утверждение нетривиальное, проще всего разобраться с нулями. Их нужно столько, сколько в разложении p на простые встречается двоек или пятерок -- максимальное из двух. Это понятно, нули больше ничего не добавляют. Тогда получаем такое утверждение: для любого p, которое не делится на 5 и 2, найдется такое число 9...99, что оно делится на p.

Всё ещё не понятно, с чего бы это вдруг. Чтобы разобраться, надо посмотреть немного с более общей точки зрения. Вместо "9...99 делится на p" можно рассмотреть равносильное "10..00 при делении на p дает остаток 1". В доказательстве не было ничего специфичного для десятичной системы счисления, так что утверждение более общее. То есть, примерно так: если у p и g нет общих делителей, то существует такое n, что gn = 1 mod p. А вот это уже понятно почему, это по теореме Эйлера, и даже можно назвать, чему равно n.

Кстати, 0.(714285) это 5/7.
Tags: математика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic
    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 8 comments